一、函数项级数
逐点收敛
设 为函数列, 称
为函数项级数. 若 收敛, 则称 为收敛点, 否则称之为发散点, 收敛点的全体 称为收敛域.
此时称 在 上逐点收敛 (点态收敛) 于和函数 .
若称 为 部分和函数, 则
- 点态收敛: 看作常数, 趋于无穷
- 通项函数列
- 部分和函数列
Analysis
看成给定的 => 几何级数
Solution
和函数 能否保持 的 “连续性、可导性、可积性”等分析性质?
不一定
例2 求 的和函数并考察其连续性.
限制区间在
但
例3 设 为 上的有理数全体, 令
其他求 的和函数并考察其在 上可积性.
Solution
代入 时, 有且只有一项 Eg. 仅
但
例4 设
考察其极限函数的积分及其积分的极限.
Solution
结论
例5 设
考察其极限函数的导数及其导数的极限.
Solution
变化
没有 使
当 时,无极限
结论
缺乏一致性,在 时刻,同学们和座位的距离小于
某个时刻之后都:在教室里
点态收敛:能找到一个时刻大家都到教室里
能否有统一的时刻?只要最后一个人来了
但随着人数增加()不一定有统一的时间
点态收敛 一致收敛
二、一致收敛性
一致收敛
设 为函数列, 若存在 使
则称 在 上一致收敛于 , 记为
函数级数一致收敛性由 一致收敛性定义
若 , 则 , 反之不然.
定理 (确界极限)
Proof
已知:
有:
i.e.
已知:
故 有
例6 讨论函数列 在 上的一致收敛性.
Solution
又故
例7 考察 在 上的一致收敛性.
Proof
由前已求
故
可画图
![../res/Pasted image 20231228092728.png|200](/img/user/res/Pasted%20image%2020231228092728.png)
原函数在 上非一致收敛
定理(Cauchy 一致收敛准则)
在 上一致收敛
Proof
设 , 则
故
已知:
固定的 ,由数列 Cauchy: 收敛
可设
此时令
即:
在 上一致收敛的Cauchy准则?
若 在 上一致收敛, 则有
设 在 内一致收敛
则 , 收敛, 且 在 上一致收敛
Solution
由 Cauchy: :
由数项级数 收敛的Cauchy
知: 收敛且
即: 在 U.C.
设 , 又 发散, 则 在 上不一致收敛.
例8 证明函数项级数 在 上收敛, 但不一致收敛.
取 使
为正数由p-判: 收敛
由于 且当 时
, 发散
由Co. 在 非U.C
例9 讨论 在 上的一致收敛性.
Analysis
发散
Weierstrass 判别法
设 有 , 且 收敛,
则 在 上一致收敛.
优(控制)级数: 来控制
寻找优级数: 常放大
Analysis
Cauchy 一致收敛 + 放缩寻找优级数
Proof
由于 收敛, ,,, 有
例10 若 , 证明 在 上一致收敛.
Proof
且收敛由判在上
定理(A-D判别法)
设 满足下列两组条件之一
(Abel)
- 单调, 且在 上一致有界, (关于 )
- 在 上一致收敛;
(Dirichlet)
- 单调, 且在 上一致趋于 0 ,
- 的 在 上一致有界.
在 上一致收敛.
Analysis
其中 一致收敛可出
Proof (Abel)
由 在 E上u.c. ,
, 有
从而 , 由 Abel Lemma:
例11 若 , 证明 在 上一致收敛.
Proof
令 ,则 ,且 关于n单调
又
故 一致有界判 U.C.
例12 设 收敛, 证明 在 上一致收敛.
Solution
令,则关于单减且即一致有界又收敛,通项不含一致收敛由 Abel Lemma: 原级数U.C.
三、一致收敛级数的性质
定理 (连续性)
设 , 且 一致收敛于 , 则 .
Tips
=> 三分
Analysis
固定 ,令
即连续的定义
差分三分Proof
由条件 有
又 在 连续,对上述 ,,, 有
从而
特别地,若 为开区间,则可以找到一个闭子区间 使得在该区间上一致收敛,即:一致收敛可减弱为内闭一致收敛
弱形式: 内闭一致收敛
若 在 的任意闭子区间一致收敛,则称 在 内闭一致收敛
- 对于闭区间:一致收敛 <=> 内闭一致
- 对于开区间:一致收敛 <== 内闭一致
反例:
例7 考察 在 上的一致收敛性.
例7.5 若改为 ,则非一致收敛,但为内闭一致收敛
Proof
已知
则 , 从而
故 固定) 内闭U.C.
而 在 上确界为 非U.C.
例13 设 , 证明
Proof
(2) 则 , 当 时.
且 收敛(根值: )
判 在 上 U.C. =>即 内闭U.C.
连续性
例14 证明 在 内连续.
取1时发散
(1)
(2) 则 且 , 且 收敛
判 在 上U.C. , 即在 内闭U.C.
连续
定理 (逐项可积性)
设 , 且 在 上一致收敛 , 则
Analysis
令则则即证
Proof
由条件 , 有
由于 有限项积分线性性
故
注 据连续性定理: , 从而
注 条件 “ ” 可减弱为 “ ”
(证明较难)
例15 设 , 求
Analysis
W-判:发散
Solution
(1)
(2) , 且 收敛
判 在 U.C.
故
定理 (逐项可微性)
设 满足
- ;
- ;
- (导数级数)在 上一致收敛.
则 , 且
Analysis
条件(3)变为:
在上归一法: 证明和函数唯一
设 (必有和函数)
下证: 即可
Proof
固定 (2)
且 在 U.c.... (s)
由可积性,两边积分
由于f连续: 两边求导:
例16 证明 在 内有连续的导数.
Solution
(1) 收敛
(2)
(3)
弱形式: 有
(p-判) 取 , 则
由p-判: 收敛
由W-判: 在 上 。
即在 内闭 U.C.
从而 且
命题 (无穷远处连续性)
设 , 又
且 , 则有 , 即
设 在 上一致收敛于 , 又
, 且 , 则有 , 即
例17 设 , 求